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\documentclass[aspectratio=169]{beamer} \usepackage{beamerthemeshadow} %\usetheme{Copenhagen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{comment} \usepackage[figurename=Fig]{caption} \usepackage{amsfonts} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{float} \usepackage{array} \begin{document} \title[Teoría de Grupos]{Teoría de Grupos} \author[Juan Pablo M. Diaz ]{Juan Pablo Muñoz Diaz\\ \vspace{1cm}Universidad Nacional de Colombia\\ Sede Manizales} \date{\today} \frame{\titlepage} %%% %%%% \frame{\frametitle{Definiciones y ejemplos} \begin{block}{Operación Binario} Dado un conjunto $S$, una operación binaria en $S$ se denota como $''+''$ o $''\cdot''$.\\ Satisface que si $a,b \in S$ entonces $a+b\in S$ o $a \cdot b \in S$, respectivamente. \end{block} \begin{exampleblock}{Ejemplos} \begin{itemize} \item Dados dos reales $a=3$ y $b=6 \in \mathbb{R}$ $3+6 = 9 \ in \mathbb{R}$ La suma en reales es una operación binaria. $a+b =c \in \mathbb{R}$ \item En el conjunto de matrices de orden $3 \times 2 = M_{3\times2}$. Si $A,B \in M_{3\times 2}$ $A_{3\times 2}+B_{3\times 2}=C_{3\times 2}\Rightarrow +_{3\times 2} $ es binaria \item Matrices Cuadradas, $\det \neq 0$)\\ Defino $(\cdot)$, como la multiplicación usual entre matrices.¿Es binaria? Dados $A,B \in D_{2 \times 2}$, $\det A \neq 0$ y $\det B \neq 0$. $\det (A\cdot B) = \det A \det B \neq 0 \Rightarrow A\cdot B \in D_{2\times 2} $ \end{itemize} \end{exampleblock} } %%%% \frame{ Tenemos entonces $(\mathbb{R}, \cdot),(M_{3\times2}, +), (D_{2\times 2}, \cdot)$ son ejemplos de estructuras algebraicas \begin{block}{Algébra y Grupos} \begin{itemize} \item Algebra: Rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar las estructuras algebraicas \item Grupos: Hacen parte de un conjunto caracteristico de las estructuras algebraicas \end{itemize} \end{block} \begin{figure} \includegraphics[height=4cm, width=8cm]{AStruct} \caption{Estructura del algebra} \end{figure} } \frame{ \begin{block}{Semigrupo} Es la estructura algebraica mas simple. \begin{itemize} \item $S$ conjunto \item Operación Binaria ($\cdot$), asociativa $(ab)c=a(bc)$ \item Se nota como$(S,\cdot)$ o $(S,+)$ \end{itemize} \textit{Ejemplo:} $M_{3\times 2}$ \end{block} \begin{block}{Grupo} \begin{itemize} \item $(G,\cdot)$ \item $a(bc)=(ab)c$ \item Existe $e \in G | ea = a \forall a\in G$ \item Para cada $a\in G \text{existe}\left{ a' | aa'=e \right }$ \end{itemize} \end{block} } \frame{ \frametitle{Ejemplos de grupos} \begin{block}{Enteros Modulo $n$ bajo la adición} \begin{itemize} \item Se nota como $(\frac{\mathbb{Z}}{n})$ bajo la adición \item Sean $x,y\in \mathbb{Z}$ Y $n$ un entero positivo. Definimos la relación $x \equiv y \mod n \text{si} x-y=qn$ Esto es una relación de equivalencia. Se denota $\overline{x}$ la clase de equivalencia que contiene al elemento x. Los elementos de nuestro grupo van a ser las clases de equivalencia generadas por la relación de equivalencia. Definamos nuestra operación binaria como $\overline{x}+\overline{y} = \overline{x+y}$. Veamos que esta operación está bien definida. si $\overline{x}=\overline{x'}$ y $\overline{y} = \overline{y'}$ entonces $n| x-x'$ y $n|y-y'$ por tanto $n|(x-y)+(x'-y')$. De esto $\overline{x+y}=\overline{x'+y'}$. Claramente el $\overline{0}$ es el elemento identidad y $\overline{-x}$ es el inverso de $\overline{x}$. Tenemos entonces que $(\frac{\mathbb{Z}}{(n)},+)$ es un grupo abeliano(Conmutativo) de orden n. Finalmente $\frac{\mathbb{Z}}{(n)} = \{ \overline{0},\overline{1},\ddots,\overline{n-1}\}$ \end{itemize} \end{block} } \frame{ \frametitle{Permutaciónes} \begin{block}{Enteros Modulo n bajo la multiplicación} $(\frac{\mathbb{Z}}{(n)},+)$ \end{block} \begin{itemize} \item Es el grupo mas importante en que se basa la teoría de grupos aplicada a la Fisica \item Sea $X$ un conjunto, y $G$ el conjunto de funciones \textbf{biyectivas} de $X$ a $X$(Fisica: Posiciónes Iniciales, Posiciónes Finales; Condición de Biyeccion) \item La operación binaria es la Composición de funciones. Dados $f$ y $g \in G, \hspace{.2cm} fg\in G$ \item El elemento Unidad es la función identidad. \item El resto de condiciónes se verifican usando resultados de composición de funciones biyectivas \end{itemize} } \frame{ \begin{block}{Simetrias de una figura Geométrica; $(S,\cdot)$} \begin{itemize} \item X Conjunto de todos los puntos de alguna figura geometrica. \item Una permutación $\sigma: X \rightarrow X$ es una simetría si preserva distancias. \[ d(a,b)=d(\sigma(a),\sigma(b)) \] \item \text{Composición de Simetrías es un Grupo.} \begin{align*} \textit{Dem} si \sigma, \tau \in S &\text{(Conjunto de simetrias)}\\ d(\sigma \tau(a),\sigma \tau(b)) &= d(\tau(a),\tau(b)) = d(a,b)\\ \end{align*} Si $a \in S$ entonces $a^{-1} \in S$ \begin{align*} \text{Dem:} d(\sigma^{-1}(a),\sigma^{-1}(b))=&d(\sigma(\sigma^{-1}(a)),\sigma(\sigma^{-1}(a)))\\ =&d(a,b) \end{align*} \item La simetrias que preservan distancias, son un subgrupo de las Permutaciones en $x$ \end{itemize} \end{block} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 incluirgraficas \frame{ \begin{align*} 0^{\circ} &\rightarrow \begin{array}{ccc} \multicolumn{3}{c}{$e$}\\ 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&2\\ 3&\rightarrow&3\\ \end{array} \hspace{1cm} e = \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\right) \hspace{.5cm} \\ \frac{2\pi}{3}=120^{\circ} &\rightarrow \begin{array}{ccccc} & $a$ & & $a$ &\\ 1&\rightarrow&2&\rightarrow&3\\ 2&\rightarrow&3&\rightarrow&1\\ 3&\rightarrow&1&\rightarrow&2\\ \end{array} \hspace{1cm} a = \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right) \hspace{1cm} a^2= \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{array}\right) \\ \frac{4\pi}{3}=-120 &\rightarrow \begin{array}{ccc} \multicolumn{3}{c}{$b$}\\ 1&\rightarrow&3\\ 2&\rightarrow&1\\ 3&\rightarrow&2\\ \end{array} \hspace{1cm} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{array}\right)= a^2 \end{align*} } \frame{\frametitle{Rotaciones} La rotacion $\frac{4\pi}{3}$ es equivalente a realizar la rotación $\frac{2\pi}{3}$ dos veces(Esto coincide con el sentido intuitivo dede rotar) \[ \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\right),\hspace{.5cm}a^2b= \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{array}\right), \hspace{.5cm} ab = \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array}\right) \] En este caso las simetrias del triangulo, quedan especifícadas por el efecto en los tres vertices$|S|=3\times 2\times1$\\ Este grupo se lla $D_3= \text{Grupo Diedral de grado 3}$ } \frame{ \begin{figure} \includegraphics[height=5cm ,width=10cm]{tabla} \caption(Tabla de Multiplicación $D_3$) \end{figure}• } \end{document}
